一、期权的基本概念

期权是一种未来选择权。期权买方支付期权费，获得按约定价格买入或卖出标的资产的权利，但没有必须执行的义务；期权卖方收取期权费，并在买方行权时承担履约义务。

看涨期权（Call）赋予买方未来按执行价格 $X$ 买入标的资产的权利，到期收益为：

C_T=\max(S_T-X,0)

看跌期权（Put）赋予买方未来按执行价格 $X$ 卖出标的资产的权利，到期收益为：

P_T=\max(X-S_T,0)

期权买方可以放弃行权，所以到期收益不会小于零。不过，净利润还需要扣除最初支付的期权费。到期收益和净利润不能混淆。

按行权时间分类，欧式期权只能在到期日行权，美式期权可在到期日前任意时点行权，百慕大式期权则只能在若干指定时点行权。

1. 实值、平值与虚值

期权立即执行所能获得的价值称为内在价值：

IV_C=\max(S-X,0),\qquad IV_P=\max(X-S,0)

对看涨期权而言， $S>X$ 为实值， $S=X$ 为平值， $S<X$ 为虚值；看跌期权的判断相反。虚值期权的内在价值是零，而不是负数。

保护性看跌由“持有股票 + 买入看跌期权”构成。看跌期权为股票价值提供下限，同时保留股价上涨的收益空间。

抛补看涨由“持有股票 + 卖出看涨期权”构成。卖出期权获得额外收入，但当股价大幅上涨时，超过执行价格的上涨收益会被放弃。

牛市价差通常是买入低执行价格看涨期权、卖出高执行价格看涨期权，适合温和看涨；熊市价差可通过买入高执行价格看跌期权、卖出低执行价格看跌期权构造，适合温和看跌。

跨式组合同时买入执行价格和到期日相同的看涨与看跌期权，押注价格将大幅波动但不判断方向。宽跨式组合使用较低执行价格的看跌与较高执行价格的看涨，初始成本通常较低，但需要更大价格变动才能获利。

在其他条件不变时，主要影响方向如下：

到期期限 $T$ 的影响更复杂。期限延长增加获利机会和累计波动性，也降低执行价格的现值，因此通常提高期权价值；但欧式看跌期权受到这些渠道的相反影响，价值不一定随期限单调上升。美式期权因拥有更大的行权集合，长期限通常不会比同条件短期限更差。

在无红利条件下，欧式看涨期权的上下限为：

\max(S_0-Xe^{-rT},0)\le c\le S_0

欧式看跌期权的上下限为：

\max(Xe^{-rT}-S_0,0)\le p\le Xe^{-rT}

这些边界来自无套利。例如，看涨期权不可能比标的股票本身更贵；欧式看跌期权未来最多获得 $X$ ，其今天的价值不应超过执行价格的现值。

考虑两个组合：组合 A 是一份欧式看涨期权加上到期支付 $X$ 的无风险债券；组合 B 是一份欧式看跌期权加上一股股票。无论到期股价低于还是高于 $X$ ，两个组合的到期支付都相同，因此当前价格必须相等：

C+Xe^{-rT}=P+S_0

平价关系要求看涨和看跌具有相同标的、执行价格与到期日，并主要适用于欧式期权。若存在股利或其他持有成本，需要相应调整公式。

Black-Scholes 模型在无交易成本、可连续交易、允许卖空、可按无风险利率借贷、无风险利率与波动率恒定、无股利且期权为欧式等假设下，为期权建立连续时间定价公式。

模型假设股票价格服从几何布朗运动：

\frac{dS_t}{S_t}=\mu dt+\sigma dW_t

其中， $\mu$ 是股票的真实期望收益率， $\sigma$ 是波动率， $W_t$ 是标准布朗运动。布朗运动增量的标准差随 $\sqrt{dt}$ 变化，因此在随机微积分中 $(dW)^2$ 与 $dt$ 同阶，不能像普通微积分那样忽略全部二阶项。

若期权价值为 $w(S,t)$ ，伊藤引理给出：

dw=\left(w_t+\mu Sw_S+\frac{1}{2}\sigma^2S^2w_{SS}\right)dt+\sigma Sw_SdW

通过持有股票并卖出适量期权，可以抵消 $dW$ 随机项，构造瞬时无风险组合。无套利要求该组合只能获得无风险收益率。由于股票的真实期望收益率 $\mu$ 在对冲过程中被消去，期权价格不直接依赖投资者对股票真实收益率的预测。

无红利欧式看涨期权价格为：

C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)

其中：

d_1=\frac{\ln(S_0/X)+(r+\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}},\qquad d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}

欧式看跌期权价格可以由看涨—看跌平价得到：

P=Xe^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1)

Black-Scholes 的现实局限主要来自交易不连续与交易成本、股价跳跃、波动率随时间和执行价格变化等。市场上观察到的“波动率微笑”正说明恒定波动率假设并不总成立。

二叉树把到期前的时间离散化。单步模型假设股票价格从 $S$ 上涨到 $Su$ 或下跌到 $Sd$ ，相应的期权到期价值为 $f_u$ 和 $f_d$ 。

通过构造 $\Delta$ 股股票多头与一份期权空头，使上涨和下跌状态下的组合价值相同，可以消除风险：

\Delta=\frac{f_u-f_d}{Su-Sd}

等价地，可以使用风险中性概率定价：

p=\frac{e^{rT}-d}{u-d}

f=e^{-rT}[pf_u+(1-p)f_d]

$p$ 不是股票真实上涨概率，而是使风险中性世界中股票期望收益率等于无风险利率的定价概率。定价步骤是：计算终端股价、计算终端期权支付、求风险中性概率，再以无风险利率将风险中性期望支付折现。

多步二叉树先向前生成可能的股价路径，再从终端节点向后逐层折现。可重组的 $n$ 步二叉树有 $n+1$ 个不同终端股价，而不是 $2^n$ 个。随着步数增加并恰当选择上涨和下跌幅度，二叉树价格逐渐逼近 Black-Scholes 结果；同时，它也更容易处理美式期权提前行权等问题。