投资学笔记（二）｜投资组合选择

一、收益、风险与投资者偏好

投资组合选择研究的不是如何寻找单纯“收益最高”的资产，而是在收益与风险之间进行权衡。投资者面对的是不确定的未来，因此首先要描述收益的概率分布，再根据自身风险偏好选择组合。

1. 期望收益率与风险

若收益率 $r_i$ 以概率 $p_i$ 出现，期望收益率为：

$$E(r)=\sum_{i=1}^{n}p_ir_i$$

期望收益率是所有可能收益率的概率加权平均，并不等于最可能出现的收益率。收益率偏离期望值的程度构成风险，通常以方差或标准差衡量：

$$Var(r)=\sum_{i=1}^{n}p_i[r_i-E(r)]^2$$

$$\sigma(r)=\sqrt{Var(r)}$$

风险不是亏损的同义词。高于期望值和低于期望值的波动都会增加方差。风险资产相对无风险资产所要求的额外收益称为风险溢价：

$$RP=E(r)-r_0$$

2. 风险态度与期望效用

投资者最大化的是期望效用，而不只是期望财富。三种风险态度可以用效用函数的形状表示：

风险态度	效用函数	关系
风险厌恶	凹函数	$E[u(W)]<u[E(W)]$
风险中性	线性函数	$E[u(W)]=u[E(W)]$
风险爱好	凸函数	$E[u(W)]>u[E(W)]$

风险厌恶者面对期望财富相同的确定性结果与风险结果时，更偏好确定性结果。风险厌恶程度越高，投资者为承担同等风险所要求的补偿越高。

二、两种风险资产的组合

设资产 1 和资产 2 的权重分别为 $w_1$ 和 $w_2$，且 $w_1+w_2=1$。组合期望收益率可以直接加权：

$$E(r_p)=w_1E(r_1)+w_2E(r_2)$$

但组合风险不能简单地对标准差加权，因为两种资产之间还存在共同波动。两资产组合方差为：

$$\sigma_p^2=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2$$

其中，$\rho_{12}$ 是相关系数。相关系数越低，分散化效果通常越好：

• 当 $\rho=1$ 时，两种资产完全同向波动，组合标准差等于标准差的加权平均，分散化效果最弱；
• 当 $\rho<1$ 时，组合通常能降低风险；
• 当 $\rho=-1$ 时，分散化效果最强，但只有权重满足 $w_1\sigma_1=w_2\sigma_2$ 时，组合风险才恰好为零。

分散化可以降低公司特有的非系统性风险，但市场、利率、通货膨胀等系统性风险会影响大量资产，无法通过简单增加证券数量完全消除。

三、马科维兹均值—方差模型

马科维兹模型在单一投资期、无交易成本、投资者只关注收益均值和方差等假设下，将组合选择写成一个优化问题：在给定期望收益率时使风险最小，或者在给定风险时使期望收益率最大。

所有可行组合在“标准差—期望收益率”平面上形成机会集。机会集中风险最低的点是总体最小方差组合。由该点向上的边界构成有效前沿，因为边界上的组合满足：

• 在相同风险下，没有其他组合能够提供更高收益；
• 在相同收益下，没有其他组合能够承担更低风险。

总体最小方差组合以下的边界属于无效前沿，因为总能在相同风险水平下找到收益更高的组合。

四、加入无风险资产

设投资者将比例 $y$ 投入某一风险组合 $P$，将 $1-y$ 投入无风险资产，则完整组合 $C$ 的期望收益率和标准差为：

$$E(r_C)=r_0+y[E(r_P)-r_0]$$

$$\sigma_C=y\sigma_P$$

消去 $y$ 后得到资本配置线：

$$E(r_C)=r_0+\frac{E(r_P)-r_0}{\sigma_P}\sigma_C$$

其截距是无风险收益率，斜率是单位风险所获得的风险溢价，也就是该风险组合的 Sharpe 比率。

五、资本市场线与切点组合

从无风险收益率点可以向风险资产有效前沿上的任意组合连线。理性投资者会选择斜率最大的直线，因为它在每一单位风险上提供最高的风险溢价。这条与风险资产有效前沿相切的直线就是资本市场线（CML）：

$$E(r_C)=r_0+\frac{E(r_M)-r_0}{\sigma_M}\sigma_C$$

切点 $M$ 是最优风险资产组合。CML 左右位置反映不同的风险承担方式：

图：有效前沿、市场组合与资本市场线

图注： 教学示意，不代表真实市场数据。灰点为模拟可行组合，紫线为风险资产有效前沿；示意无风险收益率为 2%，市场组合 $M$ 的标准差为 7%、期望收益率为 7.4%，红色虚线为经过二者的 CML。

图中 $M$ 是从无风险点出发、与有效前沿相切的组合；这里的坐标仅用于说明几何关系。CML 上位于 $M$ 左侧的点混合无风险资产和市场组合，右侧的点则对应借入无风险资产并加杠杆持有 $M$。

• 在无风险点与 $M$ 之间，$0<y<1$，一部分资金投资无风险资产，一部分投资 $M$；
• 位于 $M$ 点时，$y=1$，全部资金投入风险组合；
• 位于 $M$ 右侧时，$y>1$，投资者按无风险利率借款并加杠杆投资 $M$。

无风险资产的“无风险”是指标准差为零，并不表示收益率为零。

六、二基金分离

引入无风险资产后，投资决策可以分成两个相对独立的步骤：

1. 根据市场信息确定共同的最优风险资产组合 $M$；
2. 根据个人风险厌恶程度，决定无风险资产与 $M$ 的配置比例。

这就是二基金分离。不同投资者不需要分别寻找不同的风险资产组合，他们持有的是同一个切点组合，区别只在于投入切点组合的比例 $y$。风险厌恶程度高的投资者更靠近无风险点，风险承受能力强的投资者更靠右，甚至可能借款加杠杆。

需要区分切点组合 $M$ 与最终完整组合 $C$：$M$ 只包含风险资产，而 $C$ 是无风险资产与 $M$ 的混合。

七、核心辨析

• 风险是收益率围绕期望值的波动，不只是发生亏损的可能性。
• 组合收益率可以加权平均；组合风险还取决于资产间的协方差和相关系数。
• 相关系数为 $-1$ 代表存在完全对冲的可能，但不意味着任意权重下风险都为零。
• 分散化能降低非系统性风险，不能消除系统性风险。
• CML 的截距是无风险收益率，斜率是单位总风险的风险溢价。
• 不同投资者选择不同的完整组合，但在相同市场假设下持有共同的切点风险组合。