投资学笔记（一）｜证券估值

一、证券估值的共同逻辑

证券之所以有价值，是因为它能在未来带来现金流。债券的现金流主要是利息和本金，股票的现金流则来自股东对公司未来收益的索取。在贴现现金流法（DCF）下，证券今天的价值等于未来现金流的现值：

$$V_0=\sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^t}$$

其中，$CF_t$ 是第 $t$ 期现金流，$r$ 是与现金流风险相匹配的必要收益率。这个公式概括了估值中最重要的三个关系：

• 未来现金流越高，证券价值越高；
• 折现率越高，证券价值越低；
• 现金流距离现在越远，其现值越低。

债券和股票的估值方法看似不同，本质上都在回答两个问题：未来能收到多少钱，以及应该用多高的收益率将其折现。

二、货币时间价值

1. 终值与现值

终值是把今天的钱推到未来。单利只对本金计息，复利则让本金和已经产生的利息共同计息：

$$P_n=P_0(1+rn)$$

$$P_n=P_0(1+r)^n$$

现值是把未来的钱折回今天。相应的单利现值和复利现值为：

$$P_0=\frac{P_n}{1+rn}$$

$$P_0=\frac{P_n}{(1+r)^n}$$

2. 连续复利

若一年复利 $m$ 次，金额 $X$ 在 $T$ 年后的终值为：

$$FV=X\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mT}$$

当复利频率趋于无穷时，得到连续复利：

$$FV=Xe^{rT},\qquad PV=Xe^{-rT}$$

三、债券收益率

债券可以理解为一组事先约定的现金流。例如，一只面值 100 元、票面利率 6%、期限 3 年且每年付息一次的债券，三期现金流依次为 6 元、6 元和 106 元。

由于老债券的票息固定，市场利率上升后，新债券更有吸引力，老债券只能通过降价来提供有竞争力的收益；市场利率下降时则相反。因此，债券价格与市场利率反向变动。

图：到期收益率与债券价格

图注： 示意计算。参数沿用正文例子：面值 100 元、票面利率 6%、期限 3 年、每年付息一次；价格按 $P=\sum_{t=1}^{3}6/(1+y)^t+100/(1+y)^3$ 计算。

当到期收益率等于票面利率 6% 时，债券价格恰好等于面值 100 元；收益率继续提高，同一组固定现金流的现值下降。曲线因此直观展示了价格与市场利率的反向关系。

1. 当前收益率

当前收益率（Current Yield，CY）只比较每年利息与当前价格：

$$CY=\frac{C}{P}$$

它没有考虑到期时的资本利得或损失，也没有反映持有期间的价格变化。

2. 到期收益率

到期收益率（Yield to Maturity，YTM）是使未来全部现金流现值等于当前价格的折现率：

$$P=\sum_{t=1}^{n}\frac{C}{(1+y)^t}+\frac{M}{(1+y)^n}$$

YTM 隐含三个重要条件：持有债券至到期、发行人不违约，并且中途收到的利息能够按 YTM 再投资。因此，YTM 高并不意味着债券一定更值得购买，还要结合违约风险、再投资风险、流动性、税收与实际投资期限判断。

票面利率、当前收益率和到期收益率之间有如下关系：

债券状态	价格关系	收益率关系
折价	$P<M$	票面利率 $<$ 当前收益率 $<$ YTM
平价	$P=M$	票面利率 $=$ 当前收益率 $=$ YTM
溢价	$P>M$	YTM $<$ 当前收益率 $<$ 票面利率

折价债券到期时存在资本利得，所以 YTM 最高；溢价债券到期时存在资本损失，所以 YTM 最低。

3. 有效年收益率与持有期收益率

若名义年收益率为 $y$、一年复利 $m$ 次，则有效年收益率为：

$$EAR=\left(1+\frac{y}{m}\right)^m-1$$

当一年复利超过一次时，有效年收益率高于名义年收益率。

持有期收益率（Holding Period Return，HPR）衡量实际持有期间取得的回报：

$$HPR=\frac{C+P_{t+1}-P_t}{P_t} =\frac{C}{P_t}+\frac{P_{t+1}-P_t}{P_t}$$

因此，HPR 等于当前收益率与资本收益率之和。CY 只看利息，YTM 描述满足特定假设的到期综合收益率，而 HPR 反映实际持有一段时间后的收益。

四、即期利率、远期利率与债券定价

1. 即期利率

即期利率（Spot Rate）可以理解为贴息债券的到期收益率。$n$ 年期即期利率 $s_n$ 是从今天到第 $n$ 年末的年化利率，而不是单独第 $n$ 年的利率。贴息债券价格为：

$$P=\frac{M}{(1+s_n)^n}$$

现实中不同期限的现金流应使用相应期限的即期利率折现：

$$P=\sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+s_t)^t}$$

附息债券可以拆成一组不同期限的贴息债券。根据无套利原则，附息债券价格应等于这些贴息债券价格之和。因此，即期利率是定价基础；YTM 是债券价格确定后反推出的单一平均收益率。

2. 远期利率

远期利率（Forward Rate）是由即期利率隐含的未来某段时间利率。例如，$s_1$ 是一年期即期利率，$s_2$ 是两年期即期利率，$f_{12}$ 是第一年末至第二年末的一年期远期利率，则：

$$(1+s_2)^2=(1+s_1)(1+f_{12})$$

$$f_{12}=\frac{(1+s_2)^2}{1+s_1}-1$$

即期利率描述从今天到未来某个时点的平均年化回报，远期利率则描述未来某一段时间的隐含回报。

3. 常见债券估值公式

贴息债券只有到期本金：

$$P=\frac{M}{(1+r)^n}$$

附息债券每期支付利息并在到期时归还本金：

$$P=\sum_{t=1}^{n}\frac{C}{(1+r)^t}+\frac{M}{(1+r)^n}$$

当票面利率等于市场要求收益率时，债券平价交易；票面利率高于市场要求收益率时，债券溢价；票面利率低于市场要求收益率时，债券折价。

五、股票价值与股利折现模型

股票不承诺还本，也不保证分红，其未来现金流比债券更不确定。股利折现模型（DDM）认为，股票价值等于未来所有股利的现值：

$$V_0=\sum_{t=1}^{\infty}\frac{D_t}{(1+k)^t}$$

模型使用股利而不是直接使用盈利，是因为盈利可以分为股利和留存收益。留存收益留在公司继续投资，其价值会通过未来更高的盈利和股利体现；若把盈利直接折现，又把留存收益创造的未来收益计入估值，容易造成重复计算。

1. 零增长模型

如果股利永远保持不变，则：

$$V_0=\frac{D}{k}$$

该模型适合稳定分红、低增长或无增长的成熟公司，也可用于优先股估值。

2. 固定增长模型

如果股利永远以固定增长率 $g$ 增长，则戈登增长模型为：

$$V_0=\frac{D_1}{k-g}$$

使用时应注意：分子是下一期股利 $D_1$ 而不是当前股利 $D_0$，并且必须满足 $k>g$。由于 $g$ 位于分母中，估值结果对增长率假设非常敏感。

可持续增长来自留存收益及其投资回报：

$$g=rb$$

其中，$r$ 是留存收益投资回报率，$b$ 是留存收益比例。留存收益并非越多越好：当 $r>k$ 时留存创造价值，当 $r=k$ 时留存不改变价值，当 $r<k$ 时留存可能毁损价值。

固定增长模型还可以写成预期理论市盈率：

$$\frac{V_0}{E_1}=\frac{1-b}{k-rb}$$

高增长能够支持更高的合理市盈率，因此不能仅凭市盈率高低判断股票是否被高估或低估。

3. 两阶段与三阶段增长模型

两阶段模型适用于前期高速增长、后期稳定增长的公司。若前 $n$ 年处于高速增长期，第 $n+1$ 年进入稳定增长，先在第 $n$ 年末计算终值：

$$P_n=\frac{D_{n+1}}{k-g_2}$$

再将高速增长期股利和终值一起折现：

$$V_0=\sum_{t=1}^{n}\frac{D_t}{(1+k)^t}+\frac{P_n}{(1+k)^n}$$

这里最容易出错的是：$P_n$ 位于第 $n$ 年末，终值公式使用稳定增长期第一笔股利 $D_{n+1}$，而且终值还需要折现回今天。

三阶段模型在高速增长与稳定增长之间加入增长率逐步下降的过渡期，更贴近企业生命周期，但也引入更多参数和预测误差。模型并非越复杂越好，关键是让增长假设与公司特征相匹配。

六、核心辨析

• CY 只衡量利息回报，YTM 是持有到期假设下的综合收益率，HPR 是实际持有期间的回报。
• 即期利率用于逐期现金流定价，YTM 是价格确定后反推的平均收益率。
• $s_2$ 描述今天至第二年末，$f_{12}$ 描述第一年末至第二年末。
• 盈利是公司赚到的钱，股利是分给股东的钱，留存收益会通过未来股利体现价值。
• 固定增长模型从第一期起采用同一个增长率；多阶段模型需要分别预测前期股利，并将稳定期终值折现。