无期限模型与世代交叠模型

前言

• 本章所讨论的两个模型与Solow模型有一个显著区别，即这两个模型中总体经济的动态变化是由微观层面的决策决定的。
• 这两个模型仍然把劳动和知识的增长率看作给定的，但资本存量的变动方程来自竞争性市场上家庭最大化行为与厂商最大化行为的交互作用，因此储蓄率不再是外生的，也不必保持不变的。

Ramsey-Cass-Koopmans模型

无期限模型

1. 模型假设

1.1. 生产技术

  生产函数为$F(K,AL)$，其中$F(\cdot)$满足Solow模型中的所有假设。为了方便起见，假设没有折旧。资本变化：

$$\dot{K}(t) = Y(t) - \zeta (t)$$

  其中$\zeta(t)$是总消费。$C$用来表示人均消费，$c$则表示单位有效劳动平均消费。

1.2. 厂商

• 生产函数为$F(K,AL)$
• 要素市场和商品市场都是竞争的
• $A$的增长率为$g$，外生给定
• 厂商都归家庭所有，其利润最终全部归于家庭

1.3. 家庭

  家庭效用函数形式如下：

$$U = \int_{t=0}^{\infty} e^{-\rho t} u(C(t)) \frac{L(t)}{H} dt.$$

• $C(t)$是每个家庭成员在时间$t$的消费

也就是说，$C(t)$也是每个人的平均消费，即

$$C(t) = \frac{总消费}{L}$$

• $u(\cdot)$是瞬时效用函数，表示给定时刻下每个家庭成员的效用
• $L(t)$是经济中的总人口，所以$\frac{L(t)}{H}$是家庭成员数量
• $u(C(t))L(t)/H$就是家庭所有成员在时间$t$的总瞬时效用
• $\rho$是折现率，$\rho$越大，则家庭就越看重当期消费而不是未来消费。
    瞬时效用函数形式如下：

$$u(C(t)) = \frac{C(t)^{1-\theta}}{1-\theta}, \theta > 0, \rho-n-(1-\theta)g > 0$$

• 这一效用函数形式通常被称为相对风险规避系数不变（CRRA）的效用函数。$\theta$是相对风险规避系数，与$C$无关。这样的效用函数形式可以保证经济向平衡增长路径收敛。

引入弹性概念

• 考虑效用的消费弹性：

$$E_{U,C}=\frac{\mathrm{d} U'/U'}{\mathrm{d} C/C} = \frac{\mathrm{d}U'}{\mathrm{d}C} \frac{C}{U'} = \frac{U''}{U'}C$$

$$\because u(C(t)) = \frac{C(t)^{1-\theta}}{1-\theta}$$

$$\therefore \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}C} = \frac{1-\theta C(t)^{-\theta}}{1-\theta}=C(t)^{-\theta},$$

$$\frac{\mathrm{d}U'}{\mathrm{d}C} = -\theta C(t)^{-\theta-1}$$

• 一阶导数和二阶导数都带入到效用的消费弹性中：

$$E_{U,C} = \frac{U''}{U'}C(t) = \frac{-\theta C(t)^{-\theta-1}}{C(t)^{-\theta}}C(t) = -\theta$$

• $\theta$决定了家庭在不同时期之间调整消费的意愿，$\theta$越小，则消费上升所引起的边际效用下降就越慢，家庭就愿意接受消费的跨期变化。

2. 家庭和厂商的行为

2.1. 厂商

• 厂商的资本边际产出$MPK$就是收益率$r(t)$：

$$MPK = \frac{\partial F(K,AL)}{\partial K} = \frac{\partial AL\cdot F(K/AL,1)}{\partial K} = AL\frac{\partial {F(K/AL,1)}}{\partial K} \\=AL\frac{1}{AL}\frac{\partial {F(K/AL,1)}}{\partial \frac{K}{AL}} =\frac{f(k)}{k}=f'(k)$$

$$\therefore r(t) = f'(k)$$

• 厂商的劳动边际产出$MPL$（实际工资$W(t)$）：

$$MPL= \frac{\partial F(K,AL)}{\partial L} = \frac{\partial {AL\cdot F(K/AL,1)}}{\partial L} = \frac{\partial AL\cdot f(k)}{\partial {L}} \\ =A[ f(k) + Lf'(k)\cdot k' ] =A[ f(k) + Lf'(k) \cdot \frac {-AK}{(AL)^2}] \\=A[ f(k) - f'(k) \cdot \frac {K}{AL}]=A(t)[ f(k) - kf'(k)]=W(t)$$

• 从而单位有效劳动的平均工资$w(t)$，即$MPAL$为：

$$MPAL = \frac{\partial F(K,AL)}{\partial AL}=\frac{MPL}{A} = f(k) - kf'(k)=w(t)$$

2.2. 家庭

2.2.1. 家庭的预算约束

t=0即初期时，用于投资的一单位产出，它会在时刻t生产出$e^{\bar{r}t}$单位的产品。
$r(t)$是随时间变动的
把所有时刻的$r(t)$加总，用$R(t)$表示，则$R(t)=\int_{0}^{t} r(\tau) d\tau$，也就是$\bar{r}t$。
可以理解为“贴现”，即t期时，产品的价值乘上$e^{-\bar{r}t}$也就乘上$e^{-R(t)}$，就等于现在的价值。

每个家庭的预算约束为，消费要小于等于初始财富加上劳动收入，用公式表示为：

$$\int_{t=0}^{\infty} e^{-R(t)} C(t) \frac{L(t)}{H} dt \leq \frac{K(0)}{H}+ \int_{t=0}^{\infty} e^{-R(t)} W(t) \frac{L(t)}{H} dt$$

上述公式移向到同一边：

$$\frac{K(0)}{H} + \int_{t=0}^{\infty} e^{-R(t)}[ W(t) - C(t) ] \frac{L(t)}{H} dt\ge 0$$

将上式写作极限形式：

$$\lim_{s\rightarrow \infty} [\frac{K(0)}{H} + \int_{t=0}^{s} e^{-R(t)}[ W(t) - C(t) ] \frac{L(t)}{H} dt ] \ge 0$$

考虑未来期s期的价值（乘上$e^{R(s)}$），每个家庭在时刻s时的资本持有量为：

$$\frac{K(s)}{H} = e^{R(s)} \frac{K(0)}{H} + \int_{t=0}^{s} e^{R(s)-R(t)}[ W(t) - C(t) ] \frac{L(t)}{H} dt$$

将每个家庭在时刻s时的资本持有量贴现（乘上$e^{-R(s)}$），得到：

$$\lim_{s \rightarrow \infty} e^{-R(s)}\frac {K(s)}{H} \ge 0$$

上述推导得出一个结论，即预算约束表面家庭资产持有量折现后的极值不能为负数。这一条件称为“禁止旁氏骗局”条件或非庞齐博弈条件。

2.2.2. 家庭的最大化问题

目标函数

在此之前，因为$A(t)$的增长率为$g$，外生给定；$L(t)$的增长率为$n$，外生给定。根据贴现公式，初期$A(0)$和$L(0)$的现值分别为$A(0)e^{gt}$和$L(0)e^{nt}$。

先从目标函数入手，令$c(t)$表示单位有效劳动的平均函数，即：

$$c(t) = \frac{总消费}{A(t)L(t)} = \frac{C(t)}{A(t)}$$

工人平均消费$C(t)$就等于$A(t)c(t)$，所以家庭的瞬时效用函数式可以改写成：

$$u(C(t)) = \frac{C(t)^{1-\theta}}{1-\theta} = \frac{[A(t)c(t)]^{1-\theta}}{1-\theta} \\ = \frac{[A(0)e^{gt}]^{1-\theta}c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}=A(0)^{1-\theta}e^{(1-\theta) gt}\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta}$$

将上述式子以及贴现的$L(t)$代入到家庭效用函数$U$中，得到：

$$U = \int_{t=0}^{\infty} e^{-\rho t} u(C(t)) \frac{L(t)}{H} dt. \\ = \int_{t=0}^{\infty} e^{-\rho t} [ A(0)^{1-\theta}e^{(1-\theta) gt}\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta} ] \frac{L(0)e^{nt}}{H} dt \\ = A(0)^{1-\theta}\frac{L(0)}{H}\int_{t=0}^{\infty} e^{-\rho t}e^{(1-\theta) gt}e^{nt}\frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta} dt \\ = A(0)^{1-\theta}\frac{L(0)}{H}\int_{t=0}^{\infty} e^{-[\rho -n - (1-\theta)]t} \frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta} dt \\ =B\int_{t=0}^{\infty} e^{-\beta t} \frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta} dt$$

• 上述式子的结果中，令$B=A(0)^{1-\theta}\frac{L(0)}{H}$，$\beta=\rho -n - (1-\theta)$
• 且前文中已假定$\rho-n-(1-\theta)g > 0$，所以$\beta > 0$。

预算约束式

家庭在t时刻的总消费等于人均消费乘家庭人数，且等于单位有效劳动的平均消费$c(t)$乘以家庭有效劳动的数量$A(t)L(t)/H$，即：

$$家庭总消费= C(t)\cdot \frac{L(t)}{H}=c(t) A(t)\frac{L(t)}{H}$$

家庭劳动总收入等于单位有效劳动的平均工资$w(t)$乘以家庭有效劳动的数量$A(t)L(t)/H$，即：

$$家庭劳动总收入= W(t)\cdot \frac{L(t)}{H}=w(t) A(t)\frac{L(t)}{H}$$

此外，家庭的初始资本持有量等于时刻0的单位有效劳动平均资本$k(0)$乘以家庭有效劳动的数量$A(0)L(0))/H$，即：

$$家庭初始资本持有量= k(0)\cdot \frac{L(0)}{H}=k(0) A(0)\frac{L(0)}{H}$$

家庭的预算约束式又可以写为：

$$\int_{t=0}^{\infty} e^{-R(t)}c(t)\frac{L(t)}{H} dt \leq k(0) A(0)\frac{L(0)}{H}+ \int_{t=0}^{\infty} e^{-R(t)}w(t)\frac{A(t)L(t)}{H} dt$$

$A(t)L(t)$就等于$A(0)L(0)e^{(n+g)t}$，将其代入，并且两边除以常数$A(0)L(0)/H$，得到：

$$\int_{t=0}^{\infty} e^{-R(t)}c(t)e^{(n+g)t}dt \leq k(0) +\int_{t=0}^{\infty} e^{-R(t)}w(t)e^{(n+g)t}dt$$

以上即为家庭预算约束，现继续推导非庞齐博弈条件：

$$k(0)+\int_{t=0}^{\infty} e^{-R(t)}[w(t)-c(k)]e^{(n+g)t}dt \ge 0$$

$$\lim_{s\rightarrow \infty} [k(0)+\int_{t=0}^{s} e^{-R(t)}[w(t)-c(t)]e^{(n+g)t}dt ] \ge 0$$

$$\frac{K(S)}{H}=\frac{K(s)}{AL}AL\frac{1}{H}=AL\frac{k(s)}{H} = A(0)L(0)e^{(n+g)s}\frac{k(s)}{H} \\ = \frac{A(0)L(0)}{H}e^{(n+g)s}k(s)$$

所以非庞齐博弈条件可以写为：

$$\lim_{s\rightarrow \infty} e^{-R(s)}\frac{A(0)L(0)}{H}e^{(n+g)s}k(s) \ge 0$$

两边除以常数：

$$\lim_{s\rightarrow \infty} e^{-R(s)}e^{(n+g)s}k(s) \ge 0$$

家庭行为

根据前文分析，家庭所面临的最优化问题为：

$$max\quad U=B\int_{t=0}^{\infty} e^{-\beta t} \frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta} dt \\ s.t. \quad k(0)+\int_{t=0}^{\infty} e^{-R(t)}[w(t)-c(k)]e^{(n+g)t}dt \ge 0$$

构建拉格朗日函数：

$$\mathcal{L} = B\int_{t=0}^{\infty} e^{-\beta t} \frac{c(t)^{1-\theta}}{1-\theta} dt + \lambda \left[ k(0)+\int_{t=0}^{\infty} e^{-R(t)}[w(t)-c(k)]e^{(n+g)t}dt \right]$$

对$c(t)$求一阶导，令其等于0得到：

我没学过泛函，但是问ai这里的求导规则估计是：

$$\frac{\partial}{\partial c(t)} \int_{0}^{\infty} f[c(s)] d t = f^{\prime}[c(t)]$$

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c(t)} = \frac{Be^{-\beta t}}{1-\theta}(1-\theta)c(t)^{-\theta}-\lambda e^{-R(t)}e^{(n+g)t} \overset{令}{=} 0 \\ \therefore Be^{-\beta t}c(t)^{-\theta}=\lambda e^{-R(t)}e^{(n+g)t}$$

两边同时取对数：

$$lnB-\beta t - \theta ln c(t) = ln\lambda - R(t) + (n+g)t = ln\lambda - \int_{\tau =0}^{t} r(\tau) d\tau + (n+g)t$$

等号两边再对$t$求导：

$$-\beta -\theta \frac{\dot{c}(t)}{c(t)}=-r(t)+(n+g)$$

整理得：

$$\frac{\dot{c}(t)}{c(t)}=\frac{r(t)-n-g-\beta}{\theta}=\frac{r(t)-\rho-\theta g}{\theta}$$

其中第二个等号后用到了$\beta$的定义。

由于工人平均消费$C(t)$等于$c(t)A(t)$，所以消费$C(t)$的增长率等于:

$$\frac{\dot{C}(t)}{C(t)}=(lnC)'=[ln(cA)]'=(lnc + lnA)'= \frac{\dot{c}}{c}+\frac{\dot{A}}{A} \\ \therefore \frac{\dot{C}(t)}{C(t)}=\frac{r(t)-\rho-\theta g}{\theta}+g=\frac{r(t)-\rho}{\theta}$$

• 其中，$r(t)$是实际收益率，$\rho$是折现率。推导出的这个结论说明，如果实际收益率大于折现率，那么工人平均消费$C(t)$就会增长。
• 另外，$\theta$越小，消费变化所引起的边际效用变化越小，则实际利率和折现率的变化所导致的消费变化就越大。
• 这一段推导的解释我还没看懂。

3. 经济的动态变化

研究上述模型的动态变化，最简便的办法就是描述$C$和$k$的变动。

3.1. $c$的动态变化

前文已经规定了在均衡时，资本的边际产出决定实际利率，也就是$f'(k)=r(t)$，因此前部分推导出的最终结论可以写成：

$$\frac{\dot{C}(t)}{C(t)}=\frac{f'[k(t)]-\rho}{\theta} \\ \frac{\dot{c}(t)}{c(t)}=\frac{f'[k(t)]-\rho - \theta g}{\theta}$$

以后一个式子来说，这意味着当$f'(k)$等于$\rho +\theta g$时，$\dot{c}(t)$等于0。令$k^*$表示此时的$k$值，当$k$大于$k^*$时，$\dot{c}(t)$大于0，即单位有效劳动的平均消费$c(t)$会增长；当$k$小于$k^*$时，$\dot{c}(t)$小于0，即单位有效劳动平均消费$c(t)$会下降。

3.2. $k$的动态变化

前文规定了没有折旧的简单资本变化方程为$\dot{K}(t) = Y(t) - \zeta (t)$。消费表示为工人平均消费与工人数量的乘积，即$\dot{K}(t) = Y(t) - C(t)L(t)$。

与solow model类似，我们对$k$求$t$的导数：

$$\dot{k}(t)=\frac{\dot{K}\cdot AL-K\cdot(\dot{A}L+A\dot{L})}{(AL)^2} \\ =\frac{\dot{K}}{AL}-\frac{K}{AL} \frac{\dot{A}}{A}+\frac{K}{AL} \frac{\dot{L}}{L} \\ =\frac{Y-CL}{AL}-\frac{K}{AL} \frac{\dot{A}}{A}+\frac{K}{AL} \frac{\dot{L}}{L} \\ =\frac{Y-A\cdot c \cdot L}{AL}-\frac{K}{AL} \frac{\dot{A}}{A}+\frac{K}{AL} \frac{\dot{L}}{L} \\ =f[k(t)]-c(t)-(g+n)k(t)$$

与solow model类似，上述模型中：

• 实际投资：$f(k)-c$
• 持平投资：$(g+n)k$

当实际投资等于持平投资时，$\dot{k}=0$，此时的$c$值为$c^*=f(k)-(n+g)k$。
对$c^*=f(k)-(n+g)k$求导，得到：

$$\frac{\partial c^*}{\partial k}=f'(k)-(n+g)$$

上述式子说明，$\dot{k}=0$时，$c^*$会随着$k$的上升而上升，当$\frac{\partial c^*}{\partial k}=0$时才会开始下降，此时为k的黄金律水平。
同时，当$c^*>f(k)-(n+g)k$时，$\dot{k}>0$，$k$会上升；当$c^*<f(k)-(n+g)k$时，$\dot{k}<0$，$k$会下降。

福利

平衡增长路径

折现率下降的影响

政府购买的影响

Diamond模型

世代交叠模型

模型假设

家庭行为

经济的动态变化

动态无效率的可能性

Diamond模型中的政府