MWG-偏好与选择

1. 引言

本篇为个人笔记，主要内容来自于《微观经济原理》。框架将尽可能按照原书的框架进行，但是文字描述主要按照自己的理解。

经济学是研究稀缺资源如何配置的一门学科，微观经济学则是研究个体如何配置这些资源的学科。MWG相较于初级微观经济学，则是严格运用数学语言，来描述一个个微观经济学理论、现象、定理和命题。

研究微观经济，要研究个体的资源配置。要达到配置资源的目的，往往是需要从个人决策问题出发的。而进行决策的起点，是一个可能的备选物集合（set of possible alternatives）,这些备选物是互斥的（mutually exclusive）。

将可能的备选物集合用$X$表示，而$x_i$表示其中的一个备选物，$i=1,2,3,\cdots$。互斥意味着：

• 当{苹果， 香蕉}时，我们选择了苹果就不能选择香蕉
• 当{苹果， 香蕉， 西瓜 }时，我们选择了苹果就不能选择香蕉和西瓜。
• 那么现实中，我们是可以同时选择苹果和香蕉，甚至三种水果同时选择的。
• 故而，通常我们面临的选择是{苹果和香蕉，苹果，香蕉 }，此时，当我们选择了“苹果和香蕉”，我们就不能单独只选择“苹果”或者“香蕉”。
• 现实生活中，我们所有的选择都可以按照以上思想构筑成一个可能的备选物集合，并且这个集合是互斥的。

建立个人选择行为模型存在两种完全不同的方法：

• 第一种是偏好关系（preference relation）
• 第二种是选择关系（choice relation）

2. 偏好关系

偏好关系将决策者的爱好（taste）作为个人的本源特征，并且用偏好关系（preference relation）来描述，用符号$\succsim$表示。

本质上，偏好关系是一个偏序关系（partial order relation）。偏序关系是一个二元关系（binary relation），即两个元素之间的关系，因此任何一对备选物$x,y \in X$ 都可以进行比较。
我们将$x \succsim y$ 读作“x至少和y一样好(x is at least as good as y)”。

2.1偏好关系分类

• $\succsim$ ：偏好。若$x\succsim y$，则x至少和y一样好。
• $\succ$ ：严格偏好。若$x\succ y$，则x比y好。等价于$x\succsim y$且$y\not\succsim x$。
• $\sim$ ：无差异。若$x\sim y$，则x和y无差异。等价于$x \succsim y$且$y \succsim x$。

2.2理性偏好

2.2.1 理性偏好

定义1.B.1 若偏好关系$\succsim$满足以下条件，则称其为理性偏好（rational preference）：

• 完备性（completeness）：对于任何$x,y \in X$，有$x\succsim y$或者$y\succsim x$（或二者都成立）
• 传递性(transitivity)：对于任何$x,y,z \in X$，若$x\succsim y$且$y\succsim z$，则$x\succsim z$

• 完备性指：我们总能在两个选择之间做出偏好取向，而不是“不知道”“不确定”“不好说”。
• 传递性指：如果A选择比B好，B选择比C好，那么A选择比C好。即假设一个理性的人不会陷入A、B、C三者的选择循环中。如果陷入一个选择循环，那么这个人的决策过程就会变成$A \to B \to C \to A \to B \to C \to \cdots$，无法做出决策。

2.2.2 理性偏好的命题

命题1.B.1：如果$\succsim$是理性的，则：

• $\succ$为非反身的(irreflexive)（$x\succ x$不成立）和传递的（若$x\succ y$且$y\succ z$，则$x\succ z$）。
• $\sim$是反身的（$x\sim x$成立）、传递的（若$x\sim y$且$y\sim z$，则$x\sim z$）和对称的（若$x\sim y$，则$y\sim x$）。
• 若$x\succ y \succsim z$，则$x\sim z$。

2.2.3 非理性决策

(1) 恰可识别阈值

瑞幸咖啡举例：

• 瑞幸咖啡（一粒白糖）
• 瑞幸咖啡（两粒白糖）
• 瑞幸咖啡（三粒白糖）
• $\cdots$
• 瑞幸咖啡（两勺白糖）
  以上示例中，一粒白糖和两粒白糖对决策者来说没有任何区别，但是达到阈值以后，比如两勺白糖时，一粒白糖的瑞幸咖啡就会和两勺白糖的瑞幸咖啡灿盛区别，从而做出决策。

(2) 框架问题(framing problem)

• $x \succ y$ 且 $y \succ z$，但是$x \sim y$.
  Kahnerman和Tversky（1984）将其归因于个人的“心理账户”（mental accounts），在这个账户中，个人将他能少花的钱与商品的价格进行比较。

(3) 康多塞悖论(Condorcet paradox)

• 个人偏好是完全理性的，但社会偏好没有传递性。

2.3 效用函数

效用函数（utility function）是一个描述个体对资源的偏好程度的函数。

• 定义1.B.2： 函数$u:X \to \mathbb{R}$ 是一个代表偏好关系的效用函数 （utility function representing preference relation），若对于所有$x, y \in X$，都有

$$x \succsim y \Longleftrightarrow u(x) \geq u(y)$$

• 对于任何严格递增函数$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$来说，$v(x)=f(u(x))$都是一个新的效用函数，它和$u(x)$代表的偏好关系是相同的
• 序数(ordinal)性质：效用函数中不随任何严格递增转换而改变的性质（看不懂）
• 基数(cardinal)性质：在严格递增转换改变情况下，效用函数也会改变（不确定）

• 命题1.B.2： 只有理性的偏好关系$\succsim$才能表示为一个效用函数$u$。
  • 证完备性：对于任何$x,y \in X$，要么$u(x) \geq u(y)$，要么$u(y) \geq u(x)$，因此$x\succsim y$或$y\succsim x$
  • 证传递性：对于任何$x,y,z \in X$，若$x\succsim y$且$y\succsim z$，则$u(x) \geq u(y) \geq u(z)$，因此$x\succsim z$

3. 选择规则

在决策指定理论的第二种构建方法中，选择行为本身被视为该理论的本原目标。选择行为用选择结构（choice structure）来描述。一个选择结构$(\mathfrak{B}, C(\cdot))$包含两个要素：

• 备选物集合$\mathfrak{B}$。$\mathfrak{B}$是一个由$X$的非空子集组成的集族，即$\mathfrak{B}$中的每一个元素都是一个集合$B \subset X$，这个元素$B \subset X$被称为预算集（budget set）。
• 选择规则$C(\cdot)$。对于每个预算集$B \in \mathfrak{B}$，它都相应赋予备选物一个非空集合$C(B)$，这个集合$C(B) \subset B$。这一情况下$C(B)$中的元素是$B$中可能被决策者选择的备选物，也就是说$C(B)$中的元素是$B$中的可接受的备选物(acceptable alternatives)。

当使用选择结构模拟个人行为时，我们通常会想对个人的选择行为施加一些“合理的”约束。其中一个重要的假设是显示偏好弱公理（weak preference axiom）。

3.1 显示偏好弱公理

• 定义1.C.1： 若选择结构$(\mathfrak{B}, C(\cdot))$满足以下条件，则称其为显示偏好弱公理（weak preference axiom）：
  若对于满足$x,y\in B$的任意$B \in \mathfrak{B}$，我们有$x\in C(B)$，则对于满足$x,y \in B'$和$y\in C(B')$的任何$B' \in \mathfrak{B}$，我们也必然有$x\in C(B')$。

弱公理表明，当决策者在$y$可选的情况下曾经选择过$x$，那么不存在下列这样的预算集：该预算集包括$x$和$y$，但是决策者选择了$y$而未选择$x$。
另一个表述：若$x$被显示至少与$y$一样好，则$y$不可能被显示比$x$更受偏好。 用数学表示： $x,y \in B, x \in C(B)$且 $y \notin C(B)$。

3.2 显示偏好关系

• 定义1.C.2： 若选择结构$(\mathfrak{B}, C(\cdot))$满足以下条件，则称其为显示偏好关系（weak preference relation）：

$$x \succsim ^* y \Longleftrightarrow \text{存在某个$B$使得，$x,y \in B$ 且$x \in C(B)$}$$

• $x \succsim ^* y$ 读作“$x$至少和$y$一样好（$x$ is at least as good as $y$）”
• 注意，$\succsim ^{*}$不必是完备的或传递的
• 数学表述：对于$B \in \mathfrak{B}$，有$x,y \in B$，则$x \in C(B)$，$y \in C(B)$或者$x,y \in C(B)$。

4. 偏好关系与选择规则之间的关系

考虑建立个人选择行为模型的两种方法之间关系的两个基本问题：

• 如果某个决策者有理性偏好关系$\succsim$，那么他在$\mathfrak{B}$中的预算集做出的决策，必然能产生满足弱公理的选择结构吗？（Yes）
• 如果某个人在预算集族$\mathfrak{B}$上的选择行为可用满足弱公理的选择结构$(\mathfrak{B}, C(\cdot))$来描述，那么他必然存在能与这些选择相符的理性偏好关系吗？(Maybe Yes)

假设某个人在$X$上有理性偏好关系$\succsim$。若他面对的是备选物的一个非空子集$B \subset X$，则他的偏好最大化行为是在这个集合中选择任何一个元素（备选物）以使得：

$$C^* (B, \succsim) =\{ x\in B: x \succsim y \quad \forall \quad y \in B \}$$

• 命题1.D.1：假设$\succsim$是个理性偏好关系，则由$\succsim$生成的选择结构$(\mathfrak{B}, C^*(\cdot , \succsim))$满足弱公理。
• 定义1.D.1： 给定一个选择结构$(\mathfrak{B}, C^*(\cdot , \succsim))$，我们说理性偏好关系$\succsim$将$\mathfrak{B}$上的$C(\cdot)$理性化(rationalize)，如果对于所有$B \in \mathfrak{B}$，都有

$$C(B) = C^* (B, \succsim)$$

• 命题1.D.2： 若$(\mathfrak{B}, C(\cdot))$是一个满足下列条件的选择结构：
  • 满足弱公理
  • $X$的所有含有三个元素及三个以下元素的子集都在$\mathfrak{B}$之中
    则存在能理性化$(\mathfrak{B}, C(\cdot))$的理性偏好关系$\succsim$。