Solow模型

1. 索洛模型 (Solow Model)

1.1. 经济增长的一些基本事实

• 增长奇迹：
  一个国家的增长在长期中远远高于世界平均水平，从而导致该国在世界收入分布中的排名迅速上升。

• 增长灾难：
  一个国家的增长远远低于世界平均水平的现象。

• 研究经济增长的最终目的：

  • 探索是否可以全面加快增长，或者使穷国的生活水平更接近先进国家。
  • 索洛模型的基本结论：
    • 不论是人均产出随着时间大幅增长，还是人均产出在不同地区存在巨大差异，都难以用实物资本的积累来解释。

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1.2. 假设

投入与产出

关于生产函数的假定

$$Y(t) = F(K(t), A(t)L(t))$$

1. $Y$ 是产出，$K$ 是资本，$A$ 是知识（劳动效率），$L$ 是劳动。
2. $t$ 不直接进入函数，而是通过 $K$, $L$, $A$$ 进入。
3. 劳动增强型/哈罗德中性技术进步：
   $AL$ 以乘积形式进入函数，称 $AL$ 为有效劳动。

• 假设：

  • 规模报酬不变：

    $$F(cK, cAL) = cF(K, AL), \quad \forall c \geq 0$$

    • 说明：
      1. 经济规模已经足够大，使得专业分工的好处已得到最大限度的利用。
      2. 相对于资本、劳动和知识来说，其他投入要素并不重要。

  • 稻田条件 (Inada, 1964)：

    $$\lim_{k \to 0} f'(k) = \infty, \quad \lim_{k \to \infty} f'(k) = 0$$

Intensive Form （由规模报酬不变推出）

$$F\left(\frac{K}{AL}, 1\right) = \frac{1}{AL}F(K, AL)$$

• 定义：
  • $k = \frac{K}{AL}$：单位有效劳动的平均资本量。
  • $y = \frac{Y}{AL}$：单位有效劳动的平均产出。
• 简化形式：

  $$y = f(k)$$

  • 假定 $f(0) = 0$, $f'(k) > 0$, $f''(k) < 0$。
    即资本边际产出为正，并且它随资本量增加而递减，保证经济路径不会发散。
• Cobb-Douglas 函数满足上述所有条件。

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关于投入要素变化的假定

1. 时间的连续性：模型中假定时间是连续的。

2. 资本、劳动和知识的初始值：
   $L(0) > 0, A(0) > 0, K(0) > 0$，且 $L$ 和 $A$ 分别按固定比率增长：

   $$\dot{L}(t) = nL(t), \quad \dot{A}(t) = gA(t)$$

   • 其中 $n$ 和 $g$ 是外生参数。
   • $L(t)$ 和 $A(t)$ 分别按指数增长：

     $$L(t) = L(0)e^{nt}, \quad A(t) = A(0)e^{gt}$$

3. 资本动态方程：
   总产出用于消费和投资，其中投资等于 $$Y(t) - C(t)$$，资本的变化由以下方程决定：

   $$\dot{K}(t) = sY(t) - \delta K(t), \quad n + g + \delta > 0$$

   • 其中 $s$ 为储蓄率，$\delta$ 为折旧率。

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1.3. Solow 模型的动态变化

$k$ 的动态变化

• 对 $k$ 求导：

  $$\dot{k}(t) = sf(k(t)) - (n + g + \delta)k(t)$$

• 单位有效劳动平均资本存量的变化率由两项之差决定：

  • 实际投资：$sf(k)$。
  • 所需持平投资：$(n + g + \delta)k$。

• 相图分析：

  • 当 $sf(k) > (n+g+\delta)k$，即 $\dot{k} > 0$，$k$ 上升。
  • 当 $sf(k) < (n+g+\delta)k$，即 $\dot{k} < 0$，$k$ 下降。

平衡增长路径

• 当 $k = k^*$ 时，经济达到稳定状态。此时：
  • $A$ 的增长率为 $g$，$L$ 的增长率为 $n$。
  • $K$ 和 $Y$ 的增长率为 $n + g$：

    $$\frac{\dot{K}}{K} = n + g, \quad \frac{\dot{Y}}{Y} = n + g$$

  • 人均资本 $\frac{K}{L}$ 和人均产出 $\frac{Y}{L}$ 的增长率为 $g$：

    $$\frac{\dot{K}/L}{K/L} = g, \quad \frac{\dot{Y}/L}{Y/L} = g$$

• 平衡增长路径上，人均产出的增长率由技术进步率 $g$ 唯一决定。

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1.4. 储蓄率变化的影响

对产出的影响

• 储蓄率 $s$ 增加：

  • 实际投资 $sf(k)$ 增加。
  • 均衡单位有效劳动资本量 $k^*$ 上升。
  • 均衡单位有效劳动平均产出 $f(k^*)$ 增加。

• 人均产出 $\frac{Y}{L}$ 的增长率：

  $$\frac{Y}{L} = Af(k), \quad \frac{\dot{Y}/L}{Y/L} = g$$

• 结论：
  储蓄率的变化只有水平效应，没有增长效应。改变了经济平衡增长路径的位置，但不影响人均产出的增长率，该增长率仅由技术进步率 $g$ 决定。

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对消费的影响

• 平衡增长路径上的消费量：

  $$c^* = f(k^*) - sf(k^*) = f(k^*) - (n+g+\delta)k^*$$

  • 消费达到最大时，对应的 $k^*$ 称为资本存量的黄金律水平。

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1.5. 定量意义

储蓄率对产出的长期影响

• 储蓄率上升对长期产出的弹性：

  $$\frac{\partial y^* / y}{\partial s / s} = \frac{\alpha_{k^*}}{1 - \alpha_{k^*}}$$

  • 其中 $\alpha_{k^*} = \frac{k^*f'(k^*)}{f(k^*)}$，表示资本收入占总收入的比例。

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收敛速度

• 根据泰勒展开式：

  $$\dot{k} \simeq -\lambda (k - k^*), \quad \lambda = (n+g+\delta)[1 - \alpha_k(k^*)]$$

  • $\lambda$ 表示收敛速度。